온의지구 고등수학과외

절댓값이 있으면 항상 미분불가능하다는 판단

미적분Ⅰ에서 미분계수의 정의를 다룰 때, 절댓값 기호가 보인다는 이유만으로 결론을 정하면 안 된다. 예를 들어 f(x)=x|x|의 x=0에서 미분가능성과 미분계수를 구하는 문제에 “절댓값이 있으니 무조건 미분불가능하다”라고 답했다면, 먼저 그 판단이 실제 조건과 맞는지 확인해야 한다. 절댓값은 식의 모양을 바꿀 수 있지만, 미분가능성은 특정 점에서 좌우의 변화율이 하나로 모이는지에 따라 결정된다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서도 이런 차이를 식의 형태와 극한 조건으로 나누어 살펴본다.

차분몫으로 원인을 나누어 확인하기

학생이 함숫값, 평균변화율, 순간변화율을 구분하고 있는지 확인하려면 다음 질문을 던질 수 있다. f(0)=0일 때 [f(0+h)-f(0)]/h를 직접 정리하면 무엇이 되는가? h≠0에서 f(h)=h|h|이므로 차분몫은 [h|h|]/h=|h|이다. 여기서 바로 결론을 외우기보다 h가 양수일 때와 음수일 때의 값, 그리고 h가 0으로 가까워질 때의 변화를 학생이 직접 계산하고 표시하게 한다. 좌우 차분몫이 각각 다른지, 같은 값으로 가까워지는지 구분해 적으면 절댓값의 존재와 미분불가능성이 항상 함께 가는 것은 아니라는 점을 확인할 수 있다.

교사는 미분계수가 [f(a+h)-f(a)]/h의 h→0 극한이라는 정의를 제시하고, 함수가 연속이어도 이 극한이 존재하지 않을 수 있음을 비교한다. 다만 이 문제에서는 차분몫이 |h|이므로 h가 0으로 갈 때 값은 0으로 수렴한다. 계산 결과와 “미분계수가 존재한다”는 성립 여부를 따로 적게 하면, 식을 구한 사실과 그 식의 극한을 해석하는 과정이 섞이지 않는다.

수정 풀이와 조건을 바꾼 재적용

학생은 “|h|→0이므로 f는 x=0에서 미분가능하고 f′(0)=0”이라고 풀이를 고칠 수 있다. 같은 결과를 다른 방식으로 확인하면 x<0에서는 f(x)=-x², x≥0에서는 f(x)=x²이므로 왼쪽과 오른쪽에서 다가가는 기울기가 모두 0으로 이어진다. 따라서 정답은 x=0에서 미분가능, f′(0)=0이다. 이때 도함수 공식만 적지 말고 두 점의 함수값 차와 입력값의 증가량이 각각 무엇인지 짚어야 한다.

이제 문제와 조건만 남긴 f(x)=|x|의 x=0에서 미분가능성을 판단하는 상황을 제시하고, 앞의 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작한다. 좌우 차분몫을 직접 비교하면 h>0에서는 1, h<0에서는 -1이므로 양쪽 기울기가 달라 x=0에서 미분불가능하다. f(0)=0이고 좌우에서 함수값이 0으로 가까워진다는 연속 조건과, 미분계수 극한이 하나로 존재해야 한다는 조건은 별개로 확인해야 한다. 표현만 바꾼 문제인지 실제 조건이 달라진 문제인지 구별하면서, 절댓값이 있어도 미분가능한 경우에 해당하는 단계를 골라 순서를 복원하게 하면 배움노트 고등수학 수업에서 배운 판단 기준을 다른 식에도 적용할 수 있다.