우두지구 고등수학과외

“앞의 −1을 없애면 부등호가 어떻게 바뀌는가?”에서 멈춘 순간

공통수학1에서 일차·이차부등식의 해집합을 다룰 때, 실수 x에 대해 −(x−1)(x−3)≥0을 풀다가 계산이 멈출 수 있다. 이렇게 답했다면 “음수를 무시하고 x≤1 또는 x≥3”이라고 적었을 가능성이 있다. 그러나 이 한 번의 오답만으로 부등호 방향 규칙을 모른다고 단정할 수는 없다. 앞의 −1을 없애는 과정에서 부등호를 바꾸는 원칙을 모르는지, 아니면 인수의 부호가 아직 정해지지 않은 식에 그 규칙을 잘못 적용했는지 먼저 구분해야 한다.

식 전체를 바꾼 뒤 인수의 부호를 직접 나누어 보기

부등식의 좌변과 우변은 대소 관계가 유지되도록 변형해야 한다. 주어진 식은 −(x−1)(x−3)≥0이므로 양변에 −1을 곱해 없애면 (x−1)(x−3)≤0이 된다. 이때 음수를 곱했으므로 부등호 방향이 바뀐다. 다음에는 근 1과 3을 경계로 세 구간을 나눈다. x<1에서는 두 인수가 모두 음수라 곱이 양수이고, 1<x<3에서는 첫 인수가 양수, 둘째 인수가 음수라 곱이 음수이며, x>3에서는 두 인수가 모두 양수라 곱이 양수다. 원래 조건은 곱이 0 이상이어야 하므로 이 설명만 보면 바깥 구간을 고르고 싶어진다. 하지만 이는 변형한 식 (x−1)(x−3)≤0의 부호와 혼동한 것이다. 수정한 식의 조건에 맞는 구간은 두 근 사이이며, 끝점에서는 곱이 0이므로 포함된다.

학생에게는 “지금 비교하는 식이 원래 식인가, −1을 없앤 뒤의 식인가?”라고 확인하게 한다. 학생이 직접 부호표에 세 구간을 표시하고, 후보 구간에서 원래 식의 값이 0 이상인지 대조하도록 한다. 예를 들어 x=2를 부분 검산하면 −(1)(−1)=1로 조건을 만족하고, x=0에서는 −(−1)(−3)=−3이라 만족하지 않는다. 수치 대입은 구간 전체를 대신하는 증명은 아니지만, 식의 부호를 잘못 읽었는지 확인하는 데 도움이 된다. 따라서 수정 풀이는 1≤x≤3이고 정답은 [1,3]이다.

표현과 조건을 바꾼 식에 같은 원리를 다시 적용하기

배움노트 고등수학 수업에서는 풀이와 정답을 가린 채 문제와 필요한 조건만 남겨 독립적으로 다시 시작하게 한다. 이번에는 실수 x에 대해 (x−1)(x−3)<0을 푼다. 근 1과 3을 기준으로 각 인수의 양수·음수 구간을 먼저 표시하면 세 구간에서 곱의 부호는 각각 +, −, +이다. 따라서 음수가 되는 1<x<3만 선택한다. 끝점에서는 곱이 0이므로, 이번에는 부등호가 <인 조건에 맞지 않아 제외한다. 같은 근을 사용해도 식 전체의 음수 부호와 등호 포함 여부가 달라지면 해집합이 달라진다는 점을 확인해야 하며, 정답은 1<x<3이다.

마지막 재시도에서는 교사가 남긴 질문, “앞의 −1을 없애면 부등호가 어떻게 바뀌는가?”만 보고 학생이 식을 처음부터 세운다. 부호표가 불안정하면 두 인수의 양수·음수 구간을 따로 그린 뒤 곱의 부호를 합친다. 단순히 [1,3]을 외운 것인지, 조건이 바뀐 식에서 1<x<3을 근거와 함께 얻었는지를 구별하면 다음 점검의 방향도 분명해진다. 이후 배움노트 고등수학 수업에서는 음의 최고차항, 등호 포함 여부, 끝점의 성립을 각각 표시하며 풀이와 원래 조건의 대조를 반복한다.