거두지구 고등수학과외

“aₙ→0이므로 Σaₙ=0”이라는 판단부터 확인하기

급수와 등비급수를 공부할 때 자주 만나는 문제는 aₙ=1/[n(n+1)](n≥1)인 급수의 합을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 먼저 계산 결과보다 판단이 시작된 지점을 살펴본다. 일반항 aₙ이 0으로 가까워지는 것은 급수가 수렴하기 위한 필요조건일 뿐, 급수의 합이 0이라는 뜻은 아니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, “처음 식에서 어느 판단이 빠졌을까?”, “부분합에서 인접 항이 상쇄되도록 분해할 수 있을까?”라고 확인한다. 학생은 aₙ의 극한과 부분합의 극한을 서로 다른 줄에 적고, 합 공식에 수렴 조건을 적용했는지도 직접 표시한다.

부분합을 만들며 빠진 계산을 직접 고치기

급수의 합은 일반항의 극한이 아니라 부분합 Sₙ의 극한이다. 따라서 주어진 항을 1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)로 분해한 뒤, 몇 항을 실제로 이어 쓴다. Sₙ=(1−1/2)+(1/2−1/3)+⋯+(1/n−1/(n+1))이므로 중간 항들이 상쇄되고 Sₙ=1−1/(n+1)이 된다. 이제 학생이 직접 Sₙ을 계산하고 lim(n→∞)Sₙ을 적으면 Sₙ→1이므로 급수의 합은 1이다. 일반항은 aₙ→0이지만 부분합은 1로 간다는 사실을 나란히 대조해야 두 극한의 역할이 섞이지 않는다.

등비급수의 합 공식도 같은 방식으로 조건을 확인해야 한다. 첫 항이 0이 아닌 등비급수는 |r|<1일 때 a/(1−r)로 합을 구할 수 있다. 공비의 범위나 수렴 여부를 확인하지 않고 공식값만 쓰면, 필요한 조건을 빠뜨린 풀이가 된다. 수치 몇 개를 대입하는 것은 전체 결론의 증명이 아니라 상쇄 구조를 확인하는 부분 검산으로 활용한다.

조건을 바꾼 문제에서 합과 일반항을 다시 구별하기

이번에는 부분합 Sₙ=2−1/(n+1)(n≥1)인 급수가 있다고 하자. 문제와 조건만 남긴 채 앞의 풀이와 정답을 가리고, 학생이 먼저 필요한 관계를 직접 세운다. n≥2에서는 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(2−1/(n+1))−(2−1/n)=1/n−1/(n+1)이고, 첫 항은 a₁=S₁=3/2로 따로 확인해야 한다. 따라서 부분합의 극한은 2이므로 급수의 합은 2이며, aₙ=1/n−1/(n+1)에서 lim(n→∞)aₙ=0이다. a₁=3/2와 이후 항들의 상쇄를 더해 주어진 Sₙ이 복원되는지도 검산한다.

표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 달라진 문제인지 구별하는 것도 중요하다. 대표 문제에서는 항을 분해해 부분합을 만들었고, 새 문제에서는 부분합의 차로 일반항을 복원했다. 학생은 계산 결과와 성립 조건을 각각 적은 뒤, 공식값을 바로 쓰지 않고 부분합의 일반식과 공비의 범위를 먼저 확인한다. 같은 문제의 문장만 바꾼 경우에도 이 판단 순서를 유지하고, 실제 조건이 바뀌면 첫 항과 인덱스 범위를 다시 대조해야 한다.