후평동 고등수학과외

답을 가린 상태에서 기본 문제를 다시 시작한다. 실수 x에서 f(x)=e^−x의 도함수를 구하는 문제다. 먼저 풀이를 보지 않고 “안쪽 −x의 도함수는 무엇인가?”에 답한 뒤, 지수함수의 바깥 부분과 안쪽 부분을 나누어 적어 본다. 이렇게 답했다면 오답 e^−x를 그대로 외우기보다, 어떤 배율이 빠졌는지 직접 표시해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이처럼 결과보다 식의 구조와 확인 과정을 연결해 본다.

지수와 밑을 구분하고 오답의 의미 확인하기

학생의 풀이가 e^−x였다면 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. 학생에게 x가 밑인지 지수인지, −x가 어떤 함수의 안쪽인지 설명하게 한다. 이어서 e^x의 도함수는 e^x라는 사실과, a>0일 때 a^x의 도함수는 a^xln a라는 식을 비교한다. ln x는 x>0에서만 정의되고 도함수가 1/x라는 점도 함께 확인하되, 이번 식의 밑은 e이고 미분해야 할 안쪽은 −x임을 분명히 한다. 학생이 “안쪽 −x의 도함수는 −1”이라고 직접 말하고 식 옆에 −1을 따로 표시하면, 합성미분에서 빠진 요소를 스스로 찾을 수 있다.

안쪽 배율을 적용해 수정 풀이 완성하기

이제 학생이 후보를 고른 뒤 원래 조건과 대조한다. 바깥 함수 e^u의 도함수는 e^u이고 u=−x이므로, 안쪽 함수의 도함수 −1을 곱한다. 따라서 f′(x)=e^−x·(−1)=−e^−x이다. 정답은 −e^−x이며, x가 커질수록 e^−x는 감소하므로 도함수가 항상 음수라는 점도 부분 검산으로 사용할 수 있다. 다만 이 부호 확인만으로 식 전체를 결정하지 않고, 합성미분의 일반적인 근거와 함께 대조한다. 원래 함수의 정의역은 모든 실수이므로 미분 뒤에도 별도의 제한을 추가하지 않는다.

조건을 바꾼 문제에서 상수까지 되짚기

표현만 바꾼 같은 문제인지 실제 조건이 달라졌는지 구별하기 위해, 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 실수 a에 대해 f(x)=e^ax이고 f′(0)=−2일 때 a를 구하는 문제를 독립적으로 푼다. f′(x)=ae^ax이므로 f′(0)=a이고, 주어진 조건에서 a=−2이다. f(x)=e^−2x로 되돌아가 미분하면 −2e^−2x, 여기에 x=0을 넣으면 −2가 되어 조건과 일치한다. 기본 문제에서는 안쪽 −x의 배율을 찾았고, 이번에는 주어진 도함수 값에서 안쪽 상수를 찾아야 한다. 교사의 설명을 덮은 뒤 두 풀이를 모두 재현하고, 문자 x가 밑인지 지수인지 먼저 구분하며 미분 후 정의역을 유지하는지 확인했을 때 다음 점검으로 넘어간다.