소양로 고등수학과외

조건부확률에서는 사건 사이의 관계를 말로 알고 있는지와 그 관계를 식에 정확히 반영하는지가 다르게 드러난다. 예를 들어 P(A)=0.4, P(B)=0.7이고 A가 B에 포함될 때 P(B|A)와 P(A|B)를 구하는 문제를 보자. “A가 일어났다면 B는 반드시 일어난다”라고 설명했다면, 이 말을 분자와 분모에 어떻게 옮길지 이어서 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 바로 고르게 하기보다 학생이 조건에 해당하는 경우를 직접 남기고, 사건의 포함 방향을 표시한 뒤 식을 세우도록 한다.

포함 관계를 말에서 식으로 옮기기

학생이 이렇게 답했다면 어떨까. “둘 다 0.4/0.7이므로 4/7이다.” 이 오답 하나만으로 개념을 확정하지 않고 먼저 “A가 일어났다면 B는 반드시 일어나는가?”라고 묻는다. 학생은 A가 B 안에 포함된다는 조건을 다시 읽고, A∩B=A를 직접 표시해야 한다. 이어 처음 쓴 두 식을 나란히 대조하면서 조건부확률의 분모가 무엇을 조건으로 삼는지 확인한다. 조건이 주어진 뒤 전체를 바꾸는 것이 아니라, 조건에 해당하는 경우만 기준으로 남긴다는 점과 사건의 방향을 바꾸지 않았는지를 살핀다.

분모와 교집합을 확인해 수정하기

P(B|A)는 A가 일어난 경우 중 B도 일어난 비율이며 P(A)>0일 때 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)로 정의한다. 여기서는 A∩B=A이므로 P(B|A)=0.4/0.4=1이다. 이는 시간적 순서나 원인과 결과를 뜻하는 값이 아니라, A를 조건으로 남겼을 때 모든 경우가 B에도 포함된다는 뜻이다. 반대로 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.4/0.7=4/7이다. 교사는 이 기준과 식의 구조를 보여 주되, 학생이 직접 교집합을 표시하고 수치를 대입하게 한다. 학생은 “좁은 사건 A를 조건으로 두면 큰 사건 B가 항상 포함되므로 1”이라는 설명과 함께 두 값을 다시 쓴다.

조건이 사라질 때 정의 가능성까지 재적용하기

같은 기준을 다른 조건에 적용할 때는 표현만 바뀐 문제인지, 실제 조건이 달라진 문제인지 구별해야 한다. 사건 A,B에 대해 P(A)=0, P(A∩B)=0이라면 P(B|A)를 통상적인 비율 공식으로 구할 수 있는지 묻는다. 공식 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)는 P(A)>0일 때만 정의되므로, 여기서는 분모가 0이어서 0/0으로 계산할 수 없다. 정답은 정의할 수 없음이다. 0/0을 확률 0으로 임의 해석하지 않고, 조건 사건에 해당하는 자료가 실제로 있는지 먼저 확인한다. 재시도에서는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답 표시는 가린다. 학생은 “분모가 양수인가?”, “조건에 해당하는 행이나 집합을 표시할 수 있는가?”를 스스로 묻고 처음부터 식을 세운다. 이후 포함 관계가 주어진 경우에는 A∩B=A를 적용하고, 조건 사건이 불가능한 경우에는 공식의 성립 조건에서 멈춘다. 이렇게 답을 외운 것과 달라진 조건에 근거를 들어 적용한 것을 구별하면, 표의 분모를 혼동하는 상황에서도 조건에 해당하는 부분만 둘러 표시하며 같은 판단 기준을 이어 갈 수 있다.