사월동 고등수학과외

자연로그의 정의역을 묻는 대표 문제는 “f(x)=ln x의 도함수와 정의역을 구하라”이다. 이때 이렇게 답했다면 어떨까. f′(x)=1/x이므로 원함수의 정의역도 x≠0이라고 쓰는 경우다. 도함수 식에 나타난 분모 조건을 원함수에 그대로 거꾸로 적용한 것이 핵심 오류다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 어느 판단에서 조건이 빠졌는지 확인하는 질문부터 시작한다.

ln x의 입력 조건과 미분식을 따로 표시하기

먼저 “ln x는 음수 입력에서 실수로 정의되는가?”라고 묻고, 학생이 x의 범위를 직접 표시하게 한다. 자연로그는 로그의 진수가 양수여야 하므로 원함수의 정의역은 x>0이다. 따라서 그 구간에서 f′(x)=1/x를 구한다. 미분식 1/x 자체는 x≠0에서 계산할 수 있지만, 그것이 원함수 ln x의 정의역을 x≠0으로 넓혀 주지는 않는다. x<0에서는 원함수의 값 자체가 실수로 정의되지 않으므로 해당 점에서 도함수를 논할 수 없다.

이 과정에서 지수함수와 거듭제곱함수의 미분을 혼동하는지도 확인한다. eˣ의 도함수는 eˣ이고, a>0인 상수에 대해 aˣ의 도함수는 aˣln a이다. 반면 ln x는 x>0에서 도함수가 1/x이다. 학생에게 서로 다른 식의 밑과 지수를 표시하게 한 뒤, “로그의 정의역”과 “미분한 식의 분모 조건”을 두 줄로 나누어 적게 하면 조건의 출처가 분명해진다.

잘못된 정의역을 수정하고 조건으로 검산하기

수정 풀이는 다음처럼 쓸 수 있다. f(x)=ln x는 x>0에서 정의되고, f′(x)=1/x이다. 따라서 이 함수의 도함수는 x>0에서만 말할 수 있다. 검산할 때는 임의의 음수 값을 대입해 답을 정하는 것이 아니라, x<0에서 ln x가 원래 존재하는지 먼저 대조한다. 원함수가 없으므로 그 점의 도함수도 없다는 일반적인 정의역 확인이 정답의 근거다. 또한 x=0은 로그의 진수가 양수가 아니며 1/x도 정의되지 않으므로 제외 조건을 따로 표시한다.

이제 문제와 풀이를 남기되 정답과 유도 과정은 가린 상태에서, 경계값과 제외 조건부터 다시 적게 한다. 학생은 “로그의 진수는 양수, x=0 제외”를 먼저 표시한 뒤 도함수를 계산하고, 마지막에 원함수의 정의역과 비교한다. 이렇게 하면 식을 먼저 계산한 뒤 범위를 나중에 맞추는 습관을 줄일 수 있다.

절댓값이 들어간 새 조건에서 구간별로 재적용하기

다음 문제는 표현만 바뀐 것이 아니라 입력 조건이 달라진다. f(x)=ln|x|, x≠0의 도함수를 구하라. 로그의 진수 |x|가 양수여야 하므로 x=0만 제외되고, 양수와 음수 구간을 나누어 해석할 수 있다. x>0에서는 f(x)=ln x이므로 f′(x)=1/x이다. x<0에서는 f(x)=ln(−x)로 쓸 수 있고, 연쇄법칙에 따라 (ln(−x))′=(1/(−x))·(−1)=1/x이다. 따라서 정답은 f′(x)=1/x, x≠0이다.

두 문제의 차이는 한 문장으로 “ln x는 x>0만 가능하지만 ln|x|는 x=0을 제외한 양·음의 두 구간에서 정의된다”라고 쓰게 한다. 다음 점검에서는 기본 문제의 정답을 보이지 않은 채 경계값과 제외 조건을 먼저 표시하고, x가 밑인지 지수인지 구분한 뒤 미분한다. 마지막에는 같은 문제의 표현 변경인지 실제 조건 변경인지 대조하여, 원래 정의역을 끝까지 유지했는지 확인한다.