노변동 고등수학과외

“꼭짓점의 y좌표 1이 최솟값.” 이렇게 답했다면 계산식에서 꼭짓점을 찾는 단계와, 주어진 정의역 안에서 실제 후보를 고르는 단계를 나누어 살펴볼 필요가 있다. 문제는 f(x)=(x−3)²+1, 0≤x≤2일 때 최솟값을 구하는 것이다. 완전제곱식에서 꼭짓점은 (3, 1)이지만, 꼭짓점의 x좌표 3이 허용되는지 먼저 확인해야 한다.

꼭짓점이 정의역에 들어오는지 수직선에 표시하기

교사는 식을 다시 전개해 계산하게 하기보다, 꼭짓점의 x좌표 3과 정의역 [0, 2]를 한 수직선에 표시하게 한다. 3은 구간 [0, 2]의 바깥에 있으므로 f(3)=1은 주어진 조건을 만족하는 값이 아니다. 여기서 “허용되는 x 중 3에 가장 가까운 위치는 어디인가?”라고 묻고, 학생이 직접 2를 표시하도록 한다. 이 질문에 답하지 못했다면 꼭짓점 계산보다 정의역과 후보 선택에서 막힌 것이다.

구간 안에서 x가 3에 가까울수록 (x−3)²가 작아진다. [0, 2]에서는 가장 가까운 x가 2이므로, 첫 비교인 “x=2에서 함숫값을 계산한다”까지만 제시하고 나머지는 학생이 적게 한다. 학생이 직접 f(2)=(2−3)²+1=2를 계산하면, 최솟값은 2이고 그때의 x는 2라고 수정할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 꼭짓점의 y좌표를 무조건 답으로 옮기지 않고, 식의 형태와 허용된 입력 범위를 함께 읽는 과정을 확인한다.

계산값이 전체 구간에서 정말 가장 작은지 검산하기

끝점 하나를 대입한 결과만으로 설명을 끝내지 않고 조건 전체를 확인한다. x∈[0,2]이면 x−3≤−1이므로 (x−3)²≥1이다. 따라서 f(x)=(x−3)²+1≥2이고, x=2일 때 (x−3)²=1이 되어 등호가 성립한다. 그러므로 전체 구간에서 최솟값은 2이며, 최솟값을 갖는 위치는 x=2이다. 이 검산은 특정 수치를 몇 개 대입해 우연히 비교하는 것이 아니라, 정의역의 모든 x에 대해 부등식이 성립함을 확인하는 방법이다.

이제 문제와 필요한 수치는 그대로 남기고, 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 다시 시작한다. 먼저 “꼭짓점의 x좌표 3이 허용되는가?”에 답하고, [0,2]에서 3에 가장 가까운 끝점을 표시한 뒤 f(2)를 직접 계산하게 한다. 같은 식이라도 정의역을 읽지 않고 꼭짓점을 답으로 고르면 같은 오류가 반복된다.

끝점 포함 여부가 최솟값의 존재를 바꾸는지 비교하기

다음에는 표현만 바꾼 것이 아니라 조건을 실제로 바꾼다. f(x)=(x−3)²+1, 0≤x<2일 때 최솟값이 존재하는지 판단한다. 이번에는 2가 허용되지 않는다. x<2이면 x−3<−1이므로 (x−3)²>1, 따라서 f(x)>2이다. 동시에 x가 2에 가까워질수록 f(x)는 2에 가까워진다.

그러나 2에 가까워진다는 사실만으로 최솟값이 2가 되는 것은 아니다. 모든 허용된 x에서 f(x)>2이고, 어떤 허용 x를 골라도 2에 더 가까운 다른 허용값을 선택해 함숫값을 더 줄일 수 있다. 따라서 이 조건에서는 최솟값이 존재하지 않는다. 재적용할 때도 문제와 조건을 남겨 두되 풀이·정답·유도 표시는 가리고, 학생이 끝점 포함 여부와 꼭짓점의 위치를 먼저 표시한 뒤 결론을 스스로 완성하는지 확인한다.