만촌동 고등수학과외

바뀐 조건에서 먼저 분모 찾기

조건부확률을 연습할 때는 계산보다 먼저 무엇을 기준으로 전체를 다시 정하는지 확인해야 한다. 가상 조사 100명 중 A활동 참여자는 40명, A와 B에 모두 참여한 사람은 10명, A에 참여하지 않았지만 B에는 참여한 사람은 20명이라고 하자. 한 명을 균등하게 고를 때 P(A|B)를 구하는 문제에서는 조건이 B이다. 따라서 B에 해당하는 사람은 A와 B에 모두 참여한 10명과 A에는 참여하지 않고 B에 참여한 20명을 합한 30명이다. A이면서 B인 사람은 그중 10명이므로 P(A|B)=10/30=1/3이다.

여기서 P(B|A)=10/40=1/4와 혼동하지 않아야 한다. 교집합인 10명은 같지만, 조건으로 삼는 사건이 달라지면 분모도 달라진다. 문제의 표현을 바꾼 것이 아니라 조건 자체가 A에서 B로 바뀌었으므로, 같은 분모를 그대로 사용할 수 없다.

기본 표에서 조건부 분모 확인하기

이제 기본 문제로 돌아가 표의 기준을 세운다. 100명 중 A활동 참여자는 40명이고 그중 B활동 참여자는 10명이며, A 미참여자 60명 중 B 참여자는 30명이라고 하자. A 참여자라고 정한 뒤 전체는 몇 명인지 먼저 답하게 한다. 이때 남겨야 할 전체는 100명이 아니라 A에 해당하는 40명이다. 그 40명 안에서 B에도 참여한 10명의 비율을 찾으므로 P(B|A)=10/40=1/4이다.

만약 10/100=0.1이라고 답했다면, 교집합의 인원을 전체 조사 인원으로 나눈 셈이다. 그렇다고 이 한 번의 오답만으로 개념을 안다고 단정하거나 특정 원인을 확정하지 않는다. “A 참여자라고 정한 뒤 전체는 몇 명인가?”, “조건에 해당하는 행이나 집합만 둘러 표시할 수 있는가?”, “A와 B의 순서를 바꾸어 읽지는 않았는가?”라고 확인한다. 학생은 표에서 A에 해당하는 40명을 직접 표시하고, 그 안의 B 참여자 10명을 따로 표시한 뒤 분모와 분자를 말로 설명한다.

P(B|A)는 A가 일어난 경우만 남긴 뒤 그 안에서 B도 일어난 비율이다. P(A)>0일 때 정의되며, A가 시간상 먼저 일어났거나 B의 원인이 된다는 뜻은 아니다. 확률식으로는 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)이고, 여기서는 교집합 확률 0.1을 P(A)=0.4로 나누어도 0.1/0.4=1/4가 된다. 수치 대입은 표에서 찾은 결과가 식과 맞는지 확인하는 근거로 사용한다.

가린 풀이에서 다시 조건 세우기

교사는 대표 문제의 풀이와 정답, 검산 문장을 가린 채 문제와 조건만 남긴다. 학생은 먼저 조건 사건을 적고, 그 사건에 해당하는 인원을 모두 더해 분모를 정한다. 이어 교집합 인원을 분자로 놓아 P(A|B)=10/(10+20)=1/3을 직접 계산한다. 계산 결과 1/3과 성립 조건 P(B)>0를 각각 적고, P(B|A)=10/40과 값이 다른 이유도 한 문장으로 설명한다.

그다음 같은 문제의 숫자만 다시 보는 데서 멈추지 않고, 조건의 방향과 표의 인원 구성이 달라졌을 때도 같은 절차를 적용한다. 문제, 조건, 필요한 표를 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 시작해야 하며, 학생이 조건에 해당하는 행 또는 집합을 표시한 뒤 분모를 선택하는지 확인한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이러한 과정을 통해 공식을 외우는 대신 조건을 읽고 기준 집합을 재구성하는 습관을 점검한다.