황금동 고등수학과외

합 4와 곱 2를 넣어 4/2=2

이렇게 답했다면 결론은 맞다. 다만 답만 맞힌 것이 아니라 왜 4와 2를 사용했는지 설명할 수 있어야 한다. 문제는 x²−4x+2=0의 두 근 α, β에 대하여 1/α+1/β를 구하는 것이다. 수정 풀이에서는 두 근의 합이 4, 곱이 2임을 이용해 4/2=2라고 적는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 계산 결과와 그 계산이 성립하는 조건을 함께 확인하는 과정을 중요하게 다룬다.

분모에 근이 있을 때 빠진 판단 찾기

처음에 1/α+1/β를 보고 분자끼리 더해 2/(α+β)=1/2라고 했다면, 두 분수의 공통분모를 확인하지 않은 것이다. 이 식의 공통분모는 αβ이며, 통분하면 1/α+1/β=(β+α)/(αβ)=(α+β)/(αβ)가 된다. 따라서 먼저 근과 계수의 관계에서 α+β=4, αβ=2를 구해야 한다. 여기서 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고 “1/α와 1/β의 공통분모는 무엇인가?”라고 묻는다. 합과 곱을 잘못 기억했는지, 관계는 알고도 통분 과정에서 항을 빠뜨렸는지 학생이 직접 식을 다시 표시하게 한다.

또한 역수가 포함되므로 α와 β가 0이 아닌지 살펴야 한다. 이차방정식의 판별식은 16−8=8로 양수여서 서로 다른 두 실근을 가지며, 근의 곱 αβ=2≠0이므로 두 역수는 정의된다. 따라서 (α+β)/(αβ)=4/2=2가 성립한다. 수치 대입은 이 결론을 확인하는 데 쓰고, 분수의 통분과 근과 계수의 관계가 왜 맞는지는 일반적인 식 변형으로 설명해야 한다.

검산과 조건을 남긴 독립적인 재적용

검산으로 원래 식을 x로 나누면 x−4+2/x=0이 된다. 이 식에 두 근을 각각 대입한 뒤 더하면 (α+β)−8+2(1/α+1/β)=0, 즉 4−8+2(1/α+1/β)=0이므로 역수의 합은 2임을 다시 확인할 수 있다. 이후에는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 학생이 계산 결과와 성립 조건을 각각 적게 한다.

예를 들어 x²−4x=0의 두 근을 α, β라 할 때 1/α+1/β가 정의되는지 판단하게 한다. 근은 0과 4이므로 0의 역수는 정의되지 않는다. 따라서 해당 합도 정의되지 않으며, (α+β)/(αβ) 역시 αβ=0이라 사용할 수 없다. 같은 관계를 외워 대입하는 데서 끝내지 않고, 근 중 하나가 0인지 먼저 표시하고 식의 정의역을 대조하는지가 다음 확인점이다.