수성동 고등수학과외

일반각과 호도법을 다룰 때는 정답 숫자보다 변환의 근거가 답안에 남아 있는지가 중요하다. 예를 들어 “150°를 라디안으로 나타내라”는 문제에 이렇게 답했다면 어떻게 확인해야 할까?

150π

이 답만 보고 곧바로 개념을 모른다고 단정할 수는 없다. 각의 단위와 동경의 위치를 혼동했는지, 직각삼각형에서 다루던 양의 비를 모든 각에 그대로 적용했는지 나누어 살펴봐야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답을 지적하는 데서 멈추지 않고, 학생이 자신의 식을 다시 읽고 근거를 찾도록 질문을 이어 간다.

“180°에 대응하는 라디안 값은?”부터 확인하기

먼저 학생에게 “180°에 대응하는 라디안 값은 무엇인가?”라고 묻는다. 이 질문에 π라고 답할 수 있는지, 또는 그림에서 반원을 한 바퀴의 일부로 표시할 수 있는지를 확인한다. 180°=π 라디안이라는 대응을 모르면 변환식의 방향을 정하기 어렵다. 반대로 이 사실은 알고도 150π라고 썼다면, 도 단위의 수에 π를 바로 곱하는 습관이나 단위 표시를 생략한 과정이 원인일 수 있다.

교사는 단위원의 점을 떠올리게 하며 동경의 위치도 함께 확인한다. 각 θ에서 좌표는 (cosθ, sinθ)로 나타나고, 두 값의 부호는 동경이 놓인 사분면에 따라 달라진다. 다만 150°를 라디안으로 바꾸는 첫 단계에서는 위치의 부호보다 단위 변환이 먼저다. 150°에 π/180°를 곱하면 도 단위가 약분된다는 것까지만 제시하고, 뒤의 계산은 학생이 직접 적도록 한다.

단위를 없애며 수정 풀이 완성하기

학생은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

150°×π/180°=(150/180)π=5π/6

150/180을 5/6으로 약분했으므로 정답은 5π/6 라디안이다. 여기서 π를 곱하는 것만 기억하는 것이 아니라, 도 단위를 없애기 위해 π/180°를 곱했다는 점이 핵심이다. 150π는 180°에 대응하는 π라는 기준을 사용하지 않고 숫자 150에 π를 그대로 붙인 식이므로 주어진 각과 같은 단위를 나타내지 않는다.

검산은 변환을 거꾸로 하여 진행한다. (5π/6)×180°/π=150°가 되므로 처음의 각으로 돌아온다. 이 계산은 답의 형식만 확인하는 것이 아니라, 라디안 값에 180°/π를 곱하면 도 단위로 되돌아온다는 변환 관계가 성립하는지 확인하는 과정이다.

표현을 바꾸고 조건을 바꿔 다시 적용하기

같은 관계를 반대 방향으로 적용하면 7π/6 라디안을 도로 나타내는 문제를 만들 수 있다. 이때 문제와 필수 자료인 7π/6, 180°=π만 남겨 두고 풀이와 정답은 가린 상태에서 시작한다. 학생은 7π/6×180°/π를 적고, π를 약분한 뒤 7×30°=210°을 계산한다. 따라서 정답은 210°이다.

검산으로 210°×π/180°=7π/6을 확인하고, 210°는 180°보다 큰 각이므로 단위원 그림에서 반원을 지난 동경의 위치를 표시한다. 숫자만 바꾼 표현 변경과 실제 조건 변경을 구별하려면 매번 단위와 동경의 사분면을 함께 적어야 한다. 다음 점검에서는 150°, 7π/6처럼 각의 숫자만 처리하지 않고 도 또는 라디안 단위를 붙였는지, 해당 동경이 놓이는 사분면과 좌표 부호를 올바르게 표시했는지 확인한다.