알파시티 고등수학과외

지수방정식과 지수부등식을 풀 때는 식을 변형하기 전에 지수함수가 어떤 값을 출력할 수 있는지 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 실수 a에 대해 2ˣ=a−1이 실수해를 갖는 a의 범위를 구하는 문제로 이 판단을 점검한다. 이렇게 답했다면 어떨까? “a−1≥0이므로 a≥1.” 겉으로는 오른쪽이 음수가 되지 않아야 한다는 생각이 보이지만, 0까지 허용한 이유를 다시 확인해야 한다.

0을 실제로 만들 수 있는지 먼저 묻기

오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고 “2ˣ=0을 만족하는 실수 x가 있는가?”라고 질문한다. 학생은 지수식의 값을 직접 떠올리거나, 2ˣ의 출력 범위를 표시해 보며 왼쪽이 항상 양수임을 확인한다. 따라서 필요한 조건은 a−1≥0이 아니라 a−1>0이다. 이때 처음 식에서 빠진 판단이 ‘0의 가능성’인지, 같은 밑으로 바꾸어 지수를 비교하는 과정이 어려운지, 또는 밑의 크기에 따른 부등식 방향을 혼동한 것인지 나누어 살핀다. 등식과 부등식은 같은 방식으로 처리하지 않으며, 부등식에서는 밑이 1보다 큰지 작은지부터 확인해야 한다.

출력 조건을 식으로 고쳐 쓰고 검산하기

교사는 설명을 반복하기보다 학생이 수정된 조건을 직접 작성하게 한다. 2ˣ의 치역은 (0,∞)이므로 a−1>0, 따라서 a>1이다. 학생이 이 식을 쓴 뒤에는 a−1이 실제로 양수인지 대조하고, a=1을 넣었을 때 2ˣ=0을 요구하게 된다는 점을 확인한다. 반대로 a>1이면 오른쪽 값 a−1이 양수이므로 밑이 2인 지수함수의 출력으로 만들 수 있다. 그러므로 정답은 a>1이며, 특정 수 하나를 대입한 결과가 아니라 지수함수의 치역과 실수해의 존재 조건으로 범위 전체를 설명해야 한다.

표현을 바꾼 식에서 치환 결과까지 연결하기

기본 문제를 다시 푼 다음에는 답을 기억한 것인지 구별하기 위해 조건이 달라진 식을 사용한다. 실수 x에 대해 4ˣ−3·2ˣ+2≤0을 풀 때는 4ˣ=(2ˣ)²임을 확인하고 t=2ˣ로 치환한다. 단, t는 지수함수의 출력이므로 반드시 t>0이다. 그러면 t²−3t+2≤0, 즉 (t−1)(t−2)≤0에서 1≤t≤2를 얻는다. 2⁰≤2ˣ≤2¹이고 밑 2는 1보다 크므로 0≤x≤1이다. 따라서 해는 [0,1]이다. 양 끝 x=0, 1을 원식에 넣으면 각각 0이 되어 경계가 맞는지 확인할 수 있고, 지수함수의 증가성은 t의 구간과 x의 구간이 같은 방향으로 대응함을 보장한다.

재적용할 때는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린다. 같은 식의 순서만 바꾼 것과 실제 조건이 달라진 문제를 구별한 뒤, 학생이 먼저 출력 제한을 표시하고 치환값의 양수 조건을 적게 한다. 마지막에는 t의 답을 원래 변수 x의 구간으로 되돌렸는지 확인하며 다음 풀이에서도 이 순서를 스스로 재현하는지 점검한다.