지산동 고등수학과외

조건을 표시하지 않은 풀이에서 출발하기

미적분Ⅰ에서 함숫값과 미분계수는 모두 같은 함수에서 출발하지만 뜻과 계산 조건이 다르다. 예를 들어 f(x)=x²일 때 f′(3)를 미분계수의 정의로 구하라는 문제에서, 풀이에 필요한 점의 입력값은 3이고 변화량은 h이며 h는 0이 아닌 상태에서 계산한 뒤 0에 가까워지게 해야 한다. 이 조건을 표시하지 않고 “f(3)=9이므로 f′(3)=9”라고 답했다면, 곧바로 개념을 단정하기보다 어떤 값을 구한다고 생각했는지 확인한다.

먼저 “기울기를 구할 때 함숫값 하나만 쓰는가, 두 점의 차를 쓰는가?”라고 묻는다. 학생이 f(3)=9를 계산한 과정은 점의 높이를 구한 것이고, 기울기는 두 점의 함수값 차이를 입력값 차이로 나누어야 한다는 점을 직접 말하게 한다. 좌우에서 다가오는 변화량을 비교하는 조건까지 필요한지, 평균변화율과 순간변화율을 구별하는지도 함께 확인한다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 식에 필요한 범위와 부호를 표시하도록 한다.

차분몫의 조건을 복원해 수정하기

미분계수의 정의는 f′(a)=lim h→0 [f(a+h)−f(a)]/h이다. 따라서 a=3을 대입하면 f′(3)=lim h→0 [(3+h)²−3²]/h가 된다. 여기서 h≠0인 조건을 남긴 채 분자를 전개하면 (3+h)²−9=6h+h²이고, 이를 h로 나누어 6+h를 얻는다. h가 0에 가까워질 때 차분몫은 6에 가까워지므로 f′(3)=6이다. 함수가 연속이라는 사실만으로 이 극한의 존재를 단정할 수는 없으며, 실제로는 해당 차분몫의 극한이 존재하는지 확인해야 한다.

교사는 중간 식을 대신 완성하기보다 f(3+h), f(3), h의 역할을 나란히 표시하게 한다. 학생은 “h는 0이 아니어서 약분할 수 있고, 그 뒤 h가 0에 가까워진다”는 조건을 문장으로 설명한 다음 계산을 이어 간다. 이렇게 답했다면 정답 6을 도함수 f′(x)=2x에 x=3을 대입한 결과와 대조할 수 있다. 두 방법이 모두 6을 주지만, 점의 높이 9와 x=3에서의 접선 기울기 6은 서로 다른 값이라는 점을 구분해야 한다.

평균변화율과 순간변화율을 다시 적용하기

배움노트 고등수학 수업에서는 같은 변화량의 비를 사용하되 구간 전체와 한 점을 혼동하지 않는지 다시 확인한다. 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 f(x)=x²의 [1,3]에서 평균변화율과 x=1에서 순간변화율을 각각 구하게 한다. 학생은 먼저 [f(3)−f(1)]/(3−1)과 f′(1)을 나란히 적고, 평균변화율은 (9−1)/2=4, 순간변화율은 f′(1)=2로 계산한다.

정답은 평균변화율 4, 순간변화율 2이다. 점 (1,1)과 (3,9)를 잇는 할선의 기울기가 4이고, x=1에서의 접선 기울기가 2라는 그림의 의미도 수치와 대조한다. 같은 문제에서 표현만 바꾼 것인지, 실제로 구간이나 기준점이 달라진 것인지 먼저 표시하게 하며, 도함수 공식만 사용했다면 두 점의 함수값 차와 입력 증가량이 무엇인지 다시 짚는다. 마지막에는 학생이 확인 질문에 답한 뒤 계산을 끝까지 스스로 완성하는지 살핀다.