장덕동 고등수학과외

로그 기본 극한을 연습할 때 예시 오답과 검산 결과가 어긋나는 지점부터 확인한다. 문제는 근방에서 $1+2h>0$일 때 $\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+2h)}{h}$를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “$\ln(1)=0$이므로 극한도 0”이라고 생각한 셈이다. 실제로 $h$가 0에 가까워질 때 분자는 0에 가까워지지만, 분모도 함께 0에 가까워지므로 분자에 대입한 값 하나만으로 극한값을 정할 수 없다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 차이를 계산 과정과 미분계수로 나누어 확인한다.

ln(1)의 값과 극한의 값을 구분하기

먼저 학생에게 분자와 분모가 각각 어디로 가는지 직접 표시하게 한다. $\ln(1+2h)\to\ln1=0$, $h\to0$이므로 $0/0$ 꼴이 된다. 이어 “기본 극한 $\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1$을 그대로 사용할 수 있는가?”라고 묻는다. 사용할 수 있다면 분자 안의 작은 입력 $u=2h$와 분모 $h$가 서로 같은지 대조해야 한다. 오답의 원인이 단순히 $\ln1=0$만 본 것인지, 아니면 입력의 배율과 분모의 배율을 맞추지 못한 것인지 확인 질문을 나누어 제시한다. 학생은 각 식 옆에 분자와 분모의 극한, 기본형 여부를 직접 적는다.

새 변수와 남는 배율을 함께 기록하기

교사는 $u=2h$라고 두어 작은 입력을 바꾸어 보게 한다. 그러면 기본형에 맞추기 위해 식을 $2\cdot\frac{\ln(1+2h)}{2h}$로 고쳐 쓸 수 있다. $h\to0$이면 $u=2h\to0$이고, 근방에서 $1+u>0$이므로 로그가 정의된다. 따라서 기본 극한의 값 1에 앞의 상수 2를 곱해 전체 극한은 2가 된다. 학생은 교사가 제시한 식을 그대로 받아 적는 데서 멈추지 않고, 왜 분모를 $2h$로 바꾸었는지와 앞에 2가 남는 이유를 문장으로 설명한다. 수정한 풀이 뒤에는 $f(x)=\ln(1+2x)$의 $x=0$에서의 미분계수 $f'(0)=\frac{2}{1+0}=2$를 부분 검산으로 적어 결과를 대조한다. 이 검산은 식의 변형이 맞는지 확인하는 근거이며, 단순한 수치 대입과는 구별한다.

풀이를 가린 채 배율이 바뀐 식에 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건, 필요한 기본 극한만 남기고 풀이 과정과 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 문제는 $\lim_{h\to0}\frac{e^{3h}-1}{h}$를 구하는 것이며, $\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1$을 사용할 수 있다. 학생은 $u=3h$라는 새 변수를 먼저 적고 $3\cdot\frac{e^{3h}-1}{3h}$로 바꾼다. 따라서 극한은 3이다. $g(x)=e^{3x}$의 $x=0$ 미분계수가 3이라는 사실과도 일치한다. 로그식과 지수식의 표현은 달라졌지만, 입력의 배율을 새 변수로 확인하고 분모를 같은 배율로 맞춘 뒤 남은 상수를 따로 표시하는 절차는 같다. 이후 배움노트 고등수학 수업에서는 식의 표현만 바뀐 경우와 실제 조건이 달라진 경우를 구별하도록 하며, 학생이 첫 단계와 배율의 이유를 스스로 작성하는지 다시 확인한다.