광주우산동 고등수학과외

전 구간이 음수인 함수에서는 정적분의 값과 그래프와 x축 사이의 넓이가 다를 수 있다. 예를 들어 f(x)=x−3, 0≤x≤2에서는 양 끝값이 f(0)=−3, f(2)=−1이므로 구간 안에서 그래프가 x축에 닿거나 위로 올라가지 않는다. 이 경계값을 먼저 확인하지 않고 정적분만 계산하면 넓이까지 음수라고 판단하기 쉽다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 계산 결과보다 먼저 함수의 위치와 문제에서 묻는 양을 구분하게 한다.

정적분 −4가 넓이 −4가 되지 않는 이유

이렇게 답했다면 “정적분이 −4이므로 넓이도 −4”라고 생각한 셈이다. 그러나 정적분은 함수의 부호를 포함한 누적량이고, 넓이는 길이와 높이로 정해지는 양의 크기다. 먼저 “이 구간에서 그래프 위쪽은 함수인가, x축인가?”라고 묻는다. f(x)=x−3<0이므로 그래프 위쪽은 x축, 아래쪽은 함수이다. 따라서 정적분은 ∫₀²(x−3)dx로 계산하지만 넓이는 ∫₀²{0−(x−3)}dx=∫₀²(3−x)dx로 계산해야 한다.

학생이 부호 있는 누적량과 넓이를 혼동한 것인지, 그래프의 위아래 관계를 놓친 것인지는 오답 하나만으로 확정하지 않는다. 학생에게 구간 양 끝에서의 함수값을 직접 계산해 표시하게 하고, 간단한 그래프에 x축과 직선을 함께 그리게 한다. 이어 정적분 식과 넓이 식을 나란히 적어 서로 같은지 대조하게 한다. 두 식의 값이 다르다는 사실과 그 차이가 생긴 이유를 학생의 말로 설명하는지도 확인한다.

함수의 위치를 식으로 바꾸어 직접 수정하기

교사는 “넓이는 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀다”는 기준을 제시하고, 부호가 일정할 때와 바뀔 때를 비교한다. 이 문제에서는 f(x)<0이므로 넓이를 ∫₀²(3−x)dx로 세운다. 직선 운동에서 이동 거리를 구할 때 속력의 적분을 사용하는 것처럼, 넓이도 방향이 아닌 크기를 누적한다는 점을 함께 비교할 수 있다. 다만 비교 자료의 계산 결과와 그 식이 성립하는 조건은 학생이 구분해 적어야 한다.

학생은 먼저 정적분을 [x²/2−3x]₀²=−4로 계산한다. 그다음 그래프가 x축 아래에 있다는 사실을 반영하여 넓이를 ∫₀²(3−x)dx=4로 고친다. 결과는 정적분 −4, 넓이 4이다. 검산으로 높이 3과 1, 폭 2인 사다리꼴을 생각하면 (3+1)·2/2=4가 된다. 이는 한 점을 대입한 반례가 아니라, 직선과 x축 사이의 도형 전체를 이용한 확인이다.

조건을 남긴 채 다시 적용하고 다음 판단 확인하기

다시 풀 때는 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제, 구간 −1≤x≤1, 함수 f(x)=x라는 조건만 남긴다. 학생은 먼저 부호가 바뀌는 점 x=0을 표시하고, 정적분과 넓이를 각각 무엇으로 계산할지 직접 작성한다. 좌우에서 부호가 반대이므로 정적분은 서로 상쇄되어 0이지만, 넓이는 두 삼각형의 크기를 더해야 한다. 밑변과 높이가 각각 1이므로 넓이는 1/2+1/2=1이다.

이 과정에서 같은 풀이를 표현만 바꾼 것인지, 실제로 부호가 바뀌는 조건이 달라진 것인지 구별하게 한다. 전 구간이 음수인 경우에는 영점이 없음을 확인한 뒤 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 빼고, 부호가 바뀌는 경우에는 영점이나 교점에서 구간을 나누어 각 부분의 뜻을 적는다. 마지막에는 교사가 제시한 첫 단계를 지우고, 전 구간의 부호를 판단한 근거와 정적분·넓이의 차이를 학생이 혼자 설명하는지 확인한다.