선운지구 고등수학과외

확률과 통계에서 조건부확률을 다룰 때는 계산보다 먼저 조건 사건이 실제로 가능한지 확인해야 한다. 예를 들어 사건 A, B에 대해 P(A)=0이고 P(A∩B)=0이라면 P(B|A)를 통상적인 비율 공식으로 구할 수 있는지 묻게 된다. 이때 “0/0=0이므로 확률은 0”이라고 답했다면, 계산 결과만 보고 정의 조건을 빠뜨린 경우다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이런 답을 맞고 틀리는 결과로만 정리하지 않고, 어느 문장에서 판단이 생략되었는지 다시 표시하게 한다.

0/0을 확률 0으로 바꾸기 전에 분모의 조건 묻기

먼저 “조건부확률의 분모에 필요한 조건은 무엇인가?”라고 확인한다. P(B|A)는 A가 일어난 경우만 남긴 뒤 그 안에서 B도 일어난 비율이므로 P(A)>0일 때 정의된다. 따라서 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)는 P(A)>0이라는 조건 아래에서만 사용할 수 있다. 여기서 조건부라는 말은 시간적 순서나 원인과 결과를 뜻하지 않고, 전체를 A가 일어난 경우로 제한한다는 뜻이다. 학생은 처음 식에 P(A)>0이 적혀 있는지 직접 표시하고, 주어진 P(A)=0과 비교해야 한다. 분모가 0이면 0/0은 확률 0이 아니라 정의되지 않는 식이다.

학생이 직접 식을 고쳐 정의 가능 여부 확인하기

이제 학생에게 “주어진 비율 공식으로 정의할 수 있는가?”를 다시 묻고, 답을 문장과 식으로 함께 쓰게 한다. 수정된 결론은 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)는 P(A)>0일 때만 정의되며, 현재는 P(A)=0이므로 P(B|A)는 정의할 수 없다는 것이다. 학생은 분자와 분모가 모두 0이라는 사실을 부분 검산처럼 확인하되, 자료가 없는 조건을 임의의 값으로 채우지 않는다. 또 조건 사건 A와 구하려는 사건 B의 위치를 바꾸어 P(A|B)로 읽지 않았는지, 조건이 주어진 뒤의 전체를 바꾸지 못한 것은 아닌지도 직접 대조한다. 이 과정을 거쳐야 단순히 계산기를 멈추는 것이 아니라 식의 성립 조건을 판단한 것이 된다.

조건이 가능할 때 포함 관계까지 바꾸어 적용하기

기본 문제의 답과 풀이 표시를 가린 채, 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. P(A)=0.4, P(B)=0.7이고 A⊂B일 때 P(B|A)와 P(A|B)를 구하는 문제다. 학생은 먼저 A∩B=A를 표시한 뒤 두 분모 P(A), P(B)가 모두 양수인지 확인한다. 그러면 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.4/0.4=1, P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.4/0.7=4/7이다. 좁은 사건 A를 조건으로 두면 A가 일어난 경우에는 B도 반드시 일어나므로 1이 되는지, 반대로 B를 조건으로 두면 A의 비율만 남아 4/7이 되는지 대조한다. 조건 사건이 불가능한 경우와 다른 사건에 포함된 경우는 같은 방식으로 처리할 수 없다. 마지막에는 학생이 분모에 해당하는 조건 행이나 집합만 둘러 표시하고, 답을 기억해서 쓴 것이 아닌지 새 수치와 포함 관계를 바꾼 문제에서 같은 판단 순서를 재현하게 한다.