하남동 고등수학과외

“0<x−1<1/2이므로 1<x<3/2.” 이렇게 정리할 수 있다면 해의 범위와 로그의 성질을 함께 확인한 것이다. 하지만 이 결론만 보고 처음부터 개념을 정확히 알고 있었다고 단정할 수는 없다. 어떤 판단을 거쳐 이 식에 도달했는지 거슬러 살펴보는 과정이 필요하다.

밑이 1/2일 때 나타난 오답

문제는 실수 x에 대해 log_(1/2)(x−1)>1을 푸는 것이다. 이렇게 답했다면 풀이에는 x−1>1/2에서 x>3/2라고 적었을 수 있다. 이 비교는 밑이 1보다 큰 로그함수처럼 부등호 방향을 처리한 결과에 가깝다. 또한 로그의 진수는 반드시 양수여야 하므로 x−1>0, 즉 x>1이라는 조건도 따로 남겨야 한다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 어느 판단이 빠졌는지 확인해야 한다.

감소성과 진수 조건을 직접 대조하기

먼저 “밑 1/2의 로그함수는 증가하는가, 감소하는가?”라고 묻는다. 밑이 0보다 크고 1보다 작으므로 로그함수는 감소한다. 따라서 같은 밑의 로그값을 비교할 때는 진수의 부등호 방향이 뒤집힌다. 동시에 log_(1/2)(x−1)이 정의되려면 x−1>0이어야 한다. 학생이 직접 진수 조건을 먼저 쓰고, 그다음 1보다 큰 로그값이 되기 위한 비교식을 작성하게 한다. 그러면 x−1>0과 x−1<1/2를 합쳐 0<x−1<1/2, 따라서 1<x<3/2를 얻는다. 끝점도 원래 조건과 대조한다. x=3/2에서는 로그값이 1이므로 ‘1보다 크다’를 만족하지 않아 제외된다. 반대로 x=5/4를 대입하면 진수는 1/4이고 log_(1/2)(1/4)=2이므로 조건을 만족한다. 이는 전체 구간의 근거를 대신하는 계산이 아니라, 포함된 값과 제외된 경계를 확인하는 부분 검산이다.

가린 상태에서 조건부터 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린 채 실수 x에 대해 log₂(x−1)≤1을 풀게 한다. 먼저 진수 조건 x−1>0을 적고, 밑 2는 1보다 크므로 증가성을 이용해 x−1≤2를 세운다. 두 조건을 합치면 1<x≤3이므로 해는 (1,3]이다. x=3은 로그값이 1이어서 등호가 포함되고, x=1은 진수가 0이므로 정의되지 않아 제외된다. 앞 문제와 표현만 바뀐 것이 아니라 밑의 크기와 등호 포함 여부가 달라졌다는 점을 한 문장으로 쓰게 한다. 배움노트 고등수학 수업에서도 같은 유형을 다시 풀 때는 정답을 먼저 떠올리기보다 경계값과 제외 조건을 표시하고, 진수의 양수 범위와 지수식으로 바꾼 조건이 어떻게 겹치는지 직접 대조하는 흐름을 이어 간다.