쌍암동 고등수학과외

음의 공비를 가진 수렴 급수에서 조건을 표시하지 않은 채 공식만 적용하면 계산 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}3\left(-\frac12\right)^{n-1}$의 합을 구하는 문제에서, 이렇게 답했다면 풀이의 마지막 줄은 “$\frac{3}{1-\frac12}=6$”이 된다. 첫 항 3은 맞게 찾았지만 공비의 부호가 분모에 반영되지 않았다. 이때 6이라는 값만 보고 부호를 무조건 잊었다고 단정하지 않는다. 일반항의 극한과 부분합의 극한을 혼동했는지, 등비급수의 수렴 조건을 확인하지 않고 공식을 대입했는지 차례로 살펴본다.

공비의 부호와 수렴 조건을 직접 표시하기

먼저 학생이 문제의 식에서 첫 항과 공비를 직접 표시하게 한다. $a=3$, $r=-\frac12$이고, $|r|=\frac12<1$이므로 이 등비급수는 수렴한다. 여기서 짧게 “공비의 부호를 분모 $1-r$에도 유지했는가?”라고 확인한다. 등비급수의 합은 일반항 하나의 극한이 아니라 부분합 $S_n$의 극한으로 정해진다. 첫 항이 0이 아닌 등비급수는 $|r|<1$일 때 $\frac{a}{1-r}$로 합을 구하므로, 이 문제에서는 $\frac{3}{1-(-\frac12)}=\frac{3}{1+\frac12}=2$가 된다. 중간 식을 교사와 함께 확인하더라도 최종 판단은 학생이 “공비가 음수이므로 $1-r=1+\frac12$이다”라고 문장으로 쓰게 한다.

부분합으로 수정 풀이와 정답 대조하기

학생이 직접 고친 풀이는 $\displaystyle \frac{3}{1+\frac12}=2$이다. 이제 공식값만 맞춰 보는 데서 끝내지 않고 부분합으로 대조한다. 첫 $n$개 항의 합은 $\displaystyle S_n=3\frac{1-(-\frac12)^n}{1-(-\frac12)}=2\left[1-\left(-\frac12\right)^n\right]$이다. $\left(-\frac12\right)^n$은 부호가 번갈아 바뀌지만 절댓값이 0으로 가까워지므로 $S_n$의 극한은 2가 된다. 따라서 정답은 2이며, $|r|<1$이라는 성립 조건도 확인된다. 일부 항을 직접 더해 3, 1.5, 2.25처럼 값이 2 주변에서 움직이는지 보는 것은 부분 검산이 될 수 있지만, 구간 전체나 무한합의 성질을 몇 개의 수치만으로 증명할 수는 없다.

조건을 바꾼 뒤 독립적으로 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. “실수 $r$에 대해 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}0\cdot r^n$의 수렴 여부와 합을 구하라”를 제시하고, 학생이 먼저 바뀐 조건인 첫 항 0을 표시하게 한다. 각 유한 $n$에서 항은 0이므로 $S_n=0$이고, 모든 실수 $r$에서 부분합의 극한은 0이다. 따라서 모든 실수 $r$에서 수렴하며 합은 0이다. 첫 항이 0인 경우에는 앞서 확인한 $|r|<1$ 조건을 기계적으로 옮기지 않는다. 마지막 줄을 비워 두고 학생이 “공비와 무관하게 부분합이 항상 0이므로 합은 0”이라고 채우는지 확인한다. 이후 표현만 바꾼 문제와 실제 조건이 바뀐 문제를 구별하고, 공식을 쓰기 전 부분합의 일반식과 공비의 범위를 먼저 표시하는 습관을 이어 간다.