광주운남동 고등수학과외

경계값 a=0에서 시작하는 해집합 확인

공통수학1에서 일차·이차부등식의 해집합을 다룰 때는 계산식보다 먼저 매개변수의 부호를 확인해야 한다. 실수 a에 대하여 ax>2의 실수해를 구하는 문제에서 a의 값이 아직 정해지지 않았다는 점이 출발점이다. 예를 들어 모든 a에서 x>2/a라고 답했다면, a=0을 대입했을 때 식은 0>2가 되어 거짓이고 실수해가 없다. 따라서 a=0에서는 2/a 자체를 쓸 수도 없다. 이 경계값은 매개변수의 부호를 나누지 않은 풀이가 놓친 반례다.

이렇게 답했다면 “a가 음수 또는 0이어도 같은 나눗셈을 할 수 있는가?”라고 확인한다. 이 질문에 바로 답하기 어렵다면 부등호 방향 규칙을 모르는 경우와, 부호가 정해지지 않은 식에 규칙을 성급하게 적용한 경우를 나누어 살핀다. 학생은 a=0, a=2, a=-2를 직접 표시하고 각 경우에 원래 부등식이 어떤 뜻이 되는지 계산해 보며 자신의 풀이가 어느 값에서 성립하지 않는지 대조한다.

부호에 따라 달라지는 나눗셈과 수정 풀이

부등식은 좌변과 우변의 대소 관계가 유지되도록 변형해야 한다. 양수로 나누면 부등호 방향이 그대로지만, 음수로 나누면 방향이 바뀐다. 그러므로 a>0, a<0, a=0을 분리한다. a>0이면 ax>2의 양변을 양수 a로 나누어 x>2/a를 얻는다. a<0이면 음수 a로 나누어 부등호가 바뀌므로 x<2/a가 된다. a=0이면 0>2가 거짓이어서 해가 없다. 학생이 직접 수정해 적을 때도 분기 조건과 결과를 한 줄씩 대응시키고, 계산 결과와 원래 식의 성립 여부를 구분해 기록하게 한다.

각 분기의 결과는 다시 원식으로 돌아가는지 확인한다. a>0인 경우 x>2/a에 양수 a를 곱하면 ax>2가 유지된다. a<0인 경우 x<2/a에 음수 a를 곱하면 부등호가 뒤집혀 ax>2가 된다. 이처럼 특정 수를 넣어 보는 검산은 분기 결과를 점검하는 데 도움을 주지만, 해집합 전체가 맞다는 근거는 부호가 고정된 범위에서의 등가변형이다.

표현이 바뀌어도 조건을 남기는 재적용

같은 나눗셈 원리를 확인하기 위해 실수 x에 대해 −2x+3>7을 푼다. 먼저 −2x>4로 정리한 뒤, 양변을 음수 −2로 나누므로 부등호를 <로 바꾸어 x<−2를 얻는다. x=−3을 대입하면 원식은 9>7로 참이고, x=0을 대입하면 3>7로 거짓이어서 경계의 의미도 확인할 수 있다. 이 문제는 나누는 수가 −2로 고정되어 있어 한 번의 부호 판단으로 충분하지만, 앞의 문제는 나누는 수 a의 부호가 달라져 분기가 필요하다는 차이가 있다.

재적용에서는 풀이와 정답, 유도 표시는 가리고 문제와 조건, 필요한 검산 방법만 남긴다. 학생은 매개변수의 부호 분기를 스스로 구성한 뒤 계산 결과를 검산값과 대조한다. 부호표가 불안정하다면 각 인수가 양수인지 음수인지 구간을 먼저 따로 그린다. 배움노트 고등수학 수업에서도 이 과정을 통해 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 바뀐 문제를 구별하고, 다음 부등식에서도 경계값과 부호 조건을 빠뜨리지 않는지 점검한다.