흑석동 고등수학과외

정답보다 먼저 확인할 빈칸

확률과 통계에서 다음과 같은 수업 예시를 생각해 보자. 공정한 주사위 하나를 던질 때 A는 짝수가 나오는 사건, B는 3의 배수인 눈이 나오는 사건이다. 문제는 P(A∪B)를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 계산 결과만으로는 합집합의 근거가 드러나지 않는다. P(A)=1/2, P(B)=1/3을 더해 1/2+1/3=5/6이라고 쓴 경우다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 답을 보고 곧바로 개념을 하나로 단정하지 않는다. 먼저 주사위의 여섯 결과가 같은 가능성을 가지는지, 원하는 사건과 전체를 같은 기준으로 세었는지 확인한다. 특히 “눈 6은 두 사건에 각각 들어가는가?”라고 묻고, 학생이 목록에 직접 표시하게 한다.

중복을 표시하고 식의 뜻을 비교하기

학생이 A={2,4,6}, B={3,6}을 적으면 6이 두 목록에 모두 들어 있음을 확인할 수 있다. 따라서 A∩B={6}이고, 합집합의 확률은 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)로 계산한다. 단순한 개수의 비는 각 근원사건의 가능성이 같을 때만 사용할 수 있으므로, 여기서는 여섯 눈을 같은 기준으로 세어야 한다. 교사는 첫 비교까지만 제시한다. 즉 1/2+1/3-1/6이라는 구조와 중복을 한 번 빼야 한다는 이유를 보여 주고, 통분과 남은 계산은 학생이 직접 적게 한다. 학생은 1/2+1/3−1/6=2/3을 완성한다. 이후 합집합을 직접 펼쳐 {2,3,4,6}으로 쓰고 네 눈이므로 4/6=2/3인지 대조한다. 이 검산은 해당 주사위의 동일한 가능성이라는 조건 안에서 성립한다.

표현이 바뀌어도 교집합을 다시 점검하기

다음에는 풀이와 정답을 가린 채 문제와 필요한 조건만 남긴다. 공정한 주사위에서 A={1,2}, B={5,6}일 때 P(A∪B)를 구하는 상황이다. 학생은 먼저 두 목록을 직접 비교해 교집합이 공집합인지, 겹치는 눈이 있는지 표시한다. 이번에는 A∩B=∅이므로 빼야 할 중복 항의 확률은 0이다. 표현만 달라진 같은 원리를 적용하되, 교집합이 없는 배반 사건인지 확인한 뒤 계산을 이어 간다. 답을 외워 1/3+1/3을 쓰는 것이 아니라, 합집합 {1,2,5,6}의 네 원소를 세어 4/6=2/3인지 검산해야 한다. 독립 여부는 이 계산에 필요하지 않으므로 임의로 가정하지 않는다. 다음 점검에서도 문제·조건·필수 자료는 그대로 두고 해설만 가린다. 학생이 “눈 6은 두 사건에 각각 들어가는가?”에 답한 뒤 계산을 스스로 완성하는지 살피며, 결과들의 가능성 단위가 섞이면 먼저 가능한 결과를 목록으로 통일하게 한다. 여사건을 사용할 때도 무엇이 남은 결과인지 표시한 뒤 같은 기준으로 대조한다.