수완동 고등수학과외

“평면도형의 넓이는 6cm²이다. 도형이 놓인 평면과 사영 평면이 수직일 때 정사영 넓이를 구하라.” 이 문제를 보고 이렇게 답했다면 어떨까요? “도형의 넓이가 6cm²이므로 정사영 넓이도 6cm²이다.” 배움노트 고등수학 수업에서는 먼저 오답에서 사라진 조건을 찾게 합니다. 주어진 값 6cm²만 남기고 두 평면이 수직이라는 조건을 사용하지 않았다면, 단순히 계산을 틀린 것이 아니라 사영의 방향과 면적 변화를 확인하지 않은 것입니다.

6cm²를 그대로 쓰기 전에 사라진 조건 찾기

학생에게 “도형이 놓인 평면과 사영 평면이 어떤 관계인가?”, “수직으로 세워진 도형을 다른 평면에 내리면 넓이를 가진 영역이 남는가?”라고 묻습니다. 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 그림에서 보이는 모양으로 평행과 수직을 추정하는지, 길이와 넓이의 배율을 혼동하는지 나누어 확인합니다. 두 직선이 만나지 않는다는 이유만으로 평행이라고 할 수 없듯이, 그림의 인상만으로 공간 관계를 결정해서도 안 됩니다. 학생은 두 평면의 교선 방향과 각 점에서 사영 평면으로 내린 수선의 발을 직접 표시해야 합니다.

cos 90°가 나타내는 넓이의 변화 직접 완성하기

정사영은 대상 평면의 각 점에서 사영 평면에 수직으로 내린 발들의 모임입니다. 두 평면 사이의 각을 θ라 하면 평면도형의 정사영 넓이는 원래 넓이에 cosθ를 곱해 구합니다. 이때 θ=90°이므로 면적 배율은 cos90°=0입니다. 교사는 “교선 방향으로는 길이가 남지만, 그에 수직인 방향은 어떻게 되는가?”까지만 설명하고, 학생이 다음 식과 결론을 완성하게 합니다. 학생은 사영된 도형이 교선 방향의 선분 등에 겹쳐 이차원 넓이를 만들지 못한다고 정리합니다. 따라서 6·cos90°=0이고, 정답은 0cm²입니다. 모든 점을 사영하면 두 평면의 교선 방향에 놓이므로 넓이를 가진 영역이 남지 않는다는 사실도 함께 대조합니다.

조건을 가린 상태에서 다른 각도로 다시 적용하기

수정한 풀이가 같은 그림을 외운 결과인지 확인하려면, 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 채 다시 시작합니다. 이번에는 “넓이 6cm²인 평면도형이 놓인 평면과 사영 평면 사이의 예각이 60°일 때 정사영 넓이를 구하라.”고 제시합니다. 학생은 교선 방향은 유지되고 수직 방향의 길이만 cos60°배가 된다고 표시한 뒤, 6·cos60°=6·1/2=3cm²를 계산합니다. 정답은 3cm²이며 원래 넓이보다 작다는 부분까지 확인합니다. 이어 수정 전후의 풀이 단계를 섞어 놓고, 수직인 경우와 예각인 경우에 맞는 순서를 각각 복원하게 합니다. 표현만 바뀐 문제와 실제로 평면 사이의 각이 바뀐 문제를 구별하고, 정사영을 그림만 보고 추측하지 않도록 꼭짓점 좌표나 대상 평면에 내린 수선의 발을 먼저 구하는 방식으로 다음 문제를 점검합니다.